a) Gọi tọa độ các điểm như sau: \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\)

\(M\left( {2;2} \right),N\left( {3;4} \right),P\left( {5;3} \right)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và  CA nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}=4\\{x_A} + {x_C} = 2{x_P}=10\\{x_C} + {x_B} = 2{x_N}=6\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M}=4\\{y_A} + {y_C} = 2{y_P}=8\\{y_C} + {y_B} = 2{y_N}=6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 4\\{x_C} - {x_B} = 6\\{x_C} + {x_B} = 6\\{y_A} + {y_B} = 4\\{y_C} - {y_B} = 4\\{y_C} + {y_B} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 4\\{x_B} = 0\\{x_C} = 6\\{y_A} = 3\\{y_B} = 1\\{y_C} = 5\end{array} \right.\)

Vậy các đỉnh của tam giác có tọa độ là \(A\left( {4;3} \right),B\left( {0;1} \right),C\left( {6;5} \right)\)

b)  Gọi \(G\left( {{x_G};{y_G}} \right),G'\left( {{x_{G'}};{y_{G'}}} \right)\) là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP 

Áp dụng tính chất trọng tâm ta có:

\(\begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{4 + 0 + 6}}{3} = \frac{{10}}{3};{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{3 + 1 + 5}}{3} = 3\\{x_{G'}} = \frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{2 + 3 + 5}}{3} = \frac{{10}}{3};{y_{G'}} = \frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{2 + 4 + 3}}{3} = 3\end{array}\)

Suy ra \(G\left( {\frac{{10}}{3};3} \right)\) và \(G'\left( {\frac{{10}}{3};3} \right)\), tọa độ của chúng bằng nhau nên hai điểm G và G’  trùng nhau (đpcm)

c) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {2;2} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {6;4} \right)\)

Suy ra: \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {{( - 2)}^2}}  = 2\sqrt 5 ,AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \)

          \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{6^2} + {4^2}}  = 2\sqrt {13} \)

          \(\begin{array}{l}\cos A = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{( - 4).2 + ( - 2).2}}{{2\sqrt 5 .2\sqrt 2 }} =  - \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \widehat A \approx 161^\circ 33'\\\cos B = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{BA.BC}} = \frac{{4.6 + 2.4}}{{2\sqrt 5 .2\sqrt {13} }} = \frac{{8\sqrt {65} }}{{65}} \Rightarrow \widehat B = 7^\circ 7'\\\widehat C = 180^\circ  - \widehat A - \widehat B = 180^\circ  - 161^\circ 33' - 7^\circ 7' = 11^\circ 20'\end{array}\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right) = \left( { - 1;1} \right)\)

Chọn C.

a) \(x_G=\dfrac{-3+9+\left(-5\right)}{3}=\dfrac{1}{3}\).
\(y_G=\dfrac{6+\left(-10\right)+4}{3}=0\).
Vậy \(G\left(\dfrac{1}{3};0\right)\).
b) Tứ giác BGCD là hình bình hành khi và chỉ khi:
\(\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{CD}\).
Gọi \(D\left(x;y\right)\).
\(\overrightarrow{BG}\left(-\dfrac{26}{3};10\right);\overrightarrow{CD}\left(x+5;y-4\right)\).
Do \(\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{CD}\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}x+5=-\dfrac{26}{3}\\y-4=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{41}{3}\\y=14\end{matrix}\right.\).
Vậy \(D\left(-\dfrac{41}{3};14\right)\).

Xem hình sau:

a) \(G\left(-1;-\dfrac{4}{3}\right);H\left(11;-2\right);I\left(-7;-1\right)\)

b) \(\overrightarrow{IH}=3\overrightarrow{IG}\) suy ra I, G, H thẳng hàng

c) \(\left(x+7\right)^2+\left(y+1\right)^2=85\)